Viele Studenten der höheren Mathematik in ihren höheren Jahren haben sich wahrscheinlich gefragt: Wo werden Differentialgleichungen (DE) in der Praxis angewendet? In der Regel wird dieses Thema in der Vorlesung nicht besprochen, und die Lehrer gehen sofort zur Lösung von DE über, ohne den Schülern die Anwendung von Differentialgleichungen im wirklichen Leben zu erklären. Wir werden versuchen, diese Lücke zu füllen.
Beginnen wir mit der Definition einer Differentialgleichung. Eine Differentialgleichung ist also eine Gleichung, die den Wert der Ableitung einer Funktion mit der Funktion selbst, den Werten der unabhängigen Variablen und einigen Zahlen (Parametern) verbindet.
Der häufigste Anwendungsbereich von Differentialgleichungen ist die mathematische Beschreibung von Naturphänomenen. Sie werden auch bei der Lösung von Problemen verwendet, bei denen es unmöglich ist, eine direkte Beziehung zwischen einigen Werten herzustellen, die einen Prozess beschreiben. Solche Probleme treten in der Biologie, Physik, Wirtschaft auf.
In der Biologie:
Das erste aussagekräftige mathematische Modell zur Beschreibung biologischer Gemeinschaften war das Lotka-Volterra-Modell. Es beschreibt eine Population von zwei interagierenden Arten. Der erste von ihnen, Raubtiere genannt, stirbt in Abwesenheit des zweiten nach dem Gesetz x ′ = –ax (a> 0) aus, und der zweite - Beute - vermehrt sich in Abwesenheit von Raubtieren auf unbestimmte Zeit gemäß dem Gesetz von Malthus. Das Zusammenspiel dieser beiden Typen wird wie folgt modelliert. Die Opfer sterben mit einer Rate aus, die der Anzahl der Begegnungen von Räubern und Beutetieren entspricht, die in diesem Modell proportional zur Größe beider Populationen angenommen wird, d. h. gleich dxy (d> 0). Daher ist y ′ = by – dxy. Raubtiere vermehren sich proportional zur Anzahl der gefressenen Beute: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Gleichungssystem
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = by - dxy, (2)
die Räuber-Beute, die eine solche Population beschreiben, wird Lotka-Volterra-System (oder Modell) genannt.
In Physik:
Das zweite Newtonsche Gesetz lässt sich in Form einer Differentialgleichung schreiben
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), Dabei ist m die Masse des Körpers, x seine Koordinate, F (x, t) ist die Kraft, die auf den Körper mit der Koordinate x zum Zeitpunkt t einwirkt. Seine Lösung ist die Flugbahn des Körpers unter Einwirkung der angegebenen Kraft.
In Wirtschaft:
Modell des natürlichen Produktionswachstums
Wir nehmen an, dass einige Produkte zu einem festen Preis P verkauft werden. Sei Q (t) die Menge der zum Zeitpunkt t verkauften Produkte; dann ist das Einkommen zu diesem Zeitpunkt gleich PQ (t). Lassen Sie einen Teil des angegebenen Einkommens für Investitionen in die Herstellung der verkauften Produkte, d.h.
I (t) = mPQ (t), (1)
wobei m die Investitionsrate ist - eine konstante Zahl und 0
